Математика

                                                                                                                           
                                                
    











Osam koraka kako da poboljšate svoje ocene iz matematike

Mnogi đaci traže tehnike za najbolje učenje matematike. Ovo je lista koja će vam pomoći da pravilno savladate gradivo iz matematike, a samim tim i da poboljšate svoje ocene.

1. Najvažnije je da razumete ono što učite

Ako ne razumete nešto, fokusirajte se na savladavanje teme pre nego što pređete na sledeću. Zvuči jednostavno, ali je neophodno. Recimo da učite aritmetiku. Oni koji teško razumeju kako da dodaju i oduzmu negativne i pozitivne brojeve imaće problema sa ovom oblasti. Pojedini đaci, kada se nađu u situaciji u kojoj nešto ne razumeju ili ne mogu da reše neke zadatke, obično pređu na sledeću lekciju u nadi da će je lakše zapamtiti. Ovo je recept za katastrofu!

Matematika je veoma slična učenju čitanja. Morate da naučite kako da čitate slova kako biste mogli da pročitate knjigu. Sve lekcije iz matematike uče se određenim redosledom, jer se svaka tema nadovezuje na prethodnu. Ako imate problem sa nekom temom, nastavite da radite na njoj dok je ne razumete u potpunosti, a i da samim tim budete u mogućnosti da uspešno rešite određene zadatake. Koristite raznovrsne tehnike kako biste savladali lekcije – dodatna nastava, čitanje dodatne literature ili platforme poput OKmatematike, koja će vam pomoći da razumete određeno gradivo. Ako samo pređete na sledeću lekciju bez razumevanja prethodne, još više ćete se uplašiti i verovatno ćete početi da gubite nadu.

2. Vodite se poznatim primerima

Radite zadatke i proverite svoje odgovore kako biste stekli praksu. Vežbajte tako što ćete se voditi primerom sličnog zadatka. Rešavajte probleme koji imaju odgovore u knjizi i proverite svaki. Uvek počnite sa najlakšim problemom, čak i ako mislite da ćete ga „lako” rešiti. Veoma je važno da izgradite samopouzdanje. Postepeno radite sve teže i teže zadatke iz svoje knjige i proverite odgovor za svaki od njih. Nakon odrađenih desetak ili više zadataka (najbolje je dvadesetak), spremni ste za sledeću lekciju. Najvažnija stvar je da shvatite kako se rešavaju zadaci, a ne samo da završite sa tom lekcijom, jer tako nikada nećete savladati nove lekcije. Ne možete samo da pročitate lekciju iz knjige i da postanete ekspert za tu temu. Morate rešavati zadatke. Ako ne možete samostalno da rešite zadatak, onda niste spremni da nastavite dalje. Dobra vest je da će vas problemi u radu naterati i zainteresovati da razmišljate i pokušate da shvatite kako se zadaci zaista rešavaju.

3. Rešavajte zadatke postupno

Kada počnete da radite matematički zadatak, nemojte „tražiti put od problema do odgovora” u vašoj glavi pre nego što bilo šta napišete. Uobičajeno je da, kada neko gleda na matematički problem, odmah pokuša da u svojoj glavi reši kompletan zadatak pre nego što bilo šta napiše.

Uzmite, na primer, algebru. Posmatrajući jednačinu, dolazite u iskušenje da je rešite u svojoj glavi a da ništa ne zapišete. Zato nikada ne rešavajte matematički problem a da ga ne zapišete.

Ono što treba da uradite jeste da počnete sa pisanjem zadatka. Tada ćete početi da ga rešavate korak po korak. Zapišite čak i jednostavne stvari. Ono što treba jeste da uverite sebe da je svaki korak koji napišete potpuno u redu. Drugim rečima, ako rešavate jednu jednačinu, na primer, i oduzimate 10 sa obe strane, zapišite to. U sledećem koraku zaista to i oduzmite. Nakon toga, ako morate podeliti obe strane sa 2, napišite to i posle toga u SLEDEĆEM koraku zaista podelite. Ovo vam omogućava da razbijete problem na komadiće. Ako možete biti sigurni da je svaki mali korak ispravan, onda ćete biti na putu ka dobrom rešenju. Ako pokušate da uradite previše stvari odjednom, što je uobičajeno, verovatno ćete nešto uraditi što neće biti dobro ili će vas samo zbuniti i navesti na pogrešan odgovor.

4. Rešavajte zadatke u okruženju koje neće remetiti vašu pažnju

Kada učite i radite domaći zadatak, pokušajte da pronađete mesto na kojem vam ništa neće odvlačiti pažnju. Slušanje televizora kao pozadinske buke dok rešavate zadatke može vam samo odvlačiti pažnju i fokus sa zadataka. Mnogo bolje ćete se fokusirati ako zadatke rešavate u miru i tišini. Kada je buka oko vas, ona vam skreće pažnju i morate pročitati nešto možda 3 ili 4 puta, dok biste u tišini bili mnogo koncentrisniji jer ne bi bilo ničega što bi vas ometalo. Pokušajte da nađete mirno mesto da biste rešavali matematičke zadatke, jer smo sigurni da ćete ih rešavati mnogo brže i nećete gubiti fokus, a i apsorbovaćete mnogo više znanja.
 

5. Potvrdite svoje znanje pomažući drugima

Ako vas neko pita za pomoć, pokušajte da mu objasnite gradivo najbolje što možete. Ovo će izgledati malo čudno za ovu listu, ali postoji jedna univerzalna istina. Oni koji mogu da podučavaju druge znači da su u potpunosti savladali materiju. Mnogo puta će, kada učite u grupama, biti jedan član grupe koji neće shvatiti način na koji se rešavaju zadaci. Pokušajte da pomognete toj osobi, objasnite mu, čak i ako će vaše rešavanje nekog zadatka trajati duže. Ne samo da ćete se osećati kao da pomažete nekom drugom da uspe već će i proces ponavljanja informacija nekom drugom i raspodela gradiva na manje delove pomoći da ga još bolje razumete. Ovo će vam pomoći da shvatite šta je za vas predstavljalo prepreku i kako ste prevazišli ovaj problem, što vam dalje može pomoći u rešavanju drugih matematičkih problema.

6. Rešavajte zadatke postupno

Radite svoje zadatke postupno i uredno. Uvek radite probleme vertikalno, sa jednim korakom na svakoj liniji. Nikada ne radite horizontalno. Možda će trebati više papira, ali ćete moći lakše da pratite ono šta ste uradili i dokle ste stigli. Što je još važnije, nastavnik će moći bolje da prati vaš rad.

7. Zadatke rešavajte odmorni

Ne rešavajte matematičke probleme kada ste umorni. Kada radite nešto a umorni ste, može vam se prispavati, što može dovesti do lošeg sagledavanja problema koji mogu nastati u rešavanju zadataka. Najbolje bi bilo da ste odmorni i bistre glave kako biste mogli bolje da savladate prepreke i probleme.

8. Nacrtajte problem koji rešavate

Ako možete, nacrtajte sliku zadatka koji rešavate. Ovo je primenljivo u većini oblasti iz matematike i fizike. Učinite sebi uslugu i nacrtajte sliku onoga što se od vas u zadatku traži, čak i ako je vaša slika jednostavna. Vi ste vizuelna bića, proces crtanja situacija će vas terati da usvojite ono što se u zadatku zaista traži. To će vam zaista pomoći da shvatite kako da nastavite da rešavate zadatak.

Nadam se da će ti ovi saveti pomoći da poboljšaš svoju ocenu i svoje znanje iz matematike.

математичке укрштенице



Бавите се математиком, она се ионако стално бави вама…
 
Шта ће нам математика у животу?

Шта ће нам ово у животу?  Ово је питање које сте сигурно бар једном поставили себи .
Математика је свуда око нас и не слутећи да смо применили неке од математичких теорема и законитости, ми свакодневно доносимо важне одлуке, решавамо проблеме и разне ситуације. Математика је та која нам помаже да приступимо проблему на прави начин, да направимо некакав поступак у решавању и на крају, што је и најбитније да рационално и ефикасно решимо тај проблем.
Начин размишљања, систематичност или логичко расуђивање без чега нема добрих избора и правих одлука у животу, само су неке од последица решавања математичких задатака и проблема.
Наравно, ту је и директна примена математичког знања у технолошким процесима и техничким наукама. Много је примера учешћа и утицаја математике експлицитно или негде из сенке.
Зато, немојте се никада питати “шта ће ми ово у животу?” , ма колико вам деловало непримењиво. Помислите одмах како са сваком новом лекцијом или задатком,постајете способнији за успехе у животу и савлађивање препрека на које, нажалост, свако наилази.
И још нешто, што је подједнако битно….никада није касно да се научи математика!!!
Ја никада нисам знао математику - често је изговор да тако и остане. Наравно то што ниси знао не значи да не можеш научити. Можеш….само крени!!!


РАЗВОЈ  ГЕОМЕТРИЈЕ

У 17. веку пре нове ере египатски свештеник Ахмес, по угледу на неки још старији рукопис, написао је папирус. Ова стара књига чува се сада у Британском музеју у Лондону. У њој је сакупио и сачувао сва досадашња знања из геометрије и алгебре.
Када се помене реч геометрија, она данас асоцира пре свега на тачке, праве, кругове, многоуглове, њихове особине и међусобне односе, затим на равни, геометријска тела итд. Међутим, реч геометрија потиче из древних времена и њен буквални превод, а вековима и стално значење, јесте земљомерство.Да би се схватила суштина геометрије, њен значај и допринос развоју науке уопште, не само математике, неопходно је осврнути се на историјски развој геометрије.
Поуздано се зна да су најстарије цивилизације древних Сумерана, Египћана, Вавилонаца и других, користиле многа сазнања о угловима, троугловима, кругу итд. Према неким писаним документима, земљомерство је настало у Египту, јер је било неопходно после поплаве Нила мерити имања и означавати међе. Природна људска радозналост и истраживачки дух су довели до откривања и дргих особина геометријских фигура. У почетку се до општих особина долазило на основу неколико експеримената, посматрањем и интуицијом. Овакав начин извођења закључака је тзв. непотпуна индукција. Негде у 6. веку пре нове ере Грци су преузели водећу улогу у развоју науке и културе. Они су од Египћана и Вавилонаца преузели научна сазнања, а онда су почели све то да сређују. Сазнања се прверавају
(доказују), ослањајући се на нове усвојене закључке. Тако настаје нова метода закључивања, која ће битно утицати и на развој других научних области. То је тзв. дедуктивна метода, чија је основна карактеристика да све нове закључке изводимо из раније утврђених закључака - свако ново тврђење се доказује.

Познати геометри : 
ЕУКЛИД , ТАЛЕС , АРХИМЕД , ПИТАГОРА, .....

 

Талес

Талес је био активан као математичар и као државник, важио је у старом веку за првог јонског свестрано образованог природног филозофа кога су убрајали међу Седам мудраца.


Талес Милећанин (Милет , Мала Азија, 640. Или 624. п.н.е.- 547. п.н.е.), грчkи филозоф , традицијално се сматра првим филозофом и оцем науке. Према неким изворима, Талес је рођен прве године 35. олимпијаде
(640. п.н.е.), а према другим изворима, за време 39. Олимпијаде (624. п.н.е.). Превазишао је све остале мудраце многостраношћу своје делатности: био је хидротехничар , наутички инжењер , трговац , политичар , астроном , математичар и
философ. Неки извори га описују као самотњака. Прича се да је мајци, која га је наговарала да се ожени, одговорио да је прерано; да би јој касније, кад је опет наваљивала, рекао да је време за то прошло.
Уопште није имао учитеља, једино што је посетио Египат и дружио се с тамошњим свештеницима, где се упознао са  геметријом  а затим је и  пренео у Грчку. Геометрија се развила управо у
Египту из потребе чистог премеравања парцела земље након разорених поплава, које су уништавале међе између поседа.

Талес је израчунао висину Кеопсове пирамиде. За сунчана дана чекао је тренутак када ће сенка свих предмета (нпр. штапа којег је забио у песак поред пирамиде) бити једнака њиховој висини. То је онда применио и на пирамиду и преко сенке израчунао њену висину.
 
Талес је знао:


Пречник је права црта која пролази  кроз средиште круга и спаја две тачке његовог обода; таква црта дели круг на два једнака дела.
У једнакокраким троугловима, углови на основици су једнаки; а ако се једнаке праве црте повуку даље, углови с друге стране основице биће једнаки.
Ако се две праве линије секу, углови које оне стварају једнаки су   .
Ако два троугла имају два угла једнака и једну страницу једнаку, преостале странице и преостали угсо су им једнаки.   
Периферијски угао над пречником кружнице је прав угао.  

Неке Талесове изреке:
Мисли на пријатеље били живи или покојни.
Не украшавај своју спољашњост него буди леп у своме понашању.
Не богати се неправичношћу.
Не оклевај ласкати родитељима.
Каква добра учиниш родитељима таква и сам у старости очекуј од своје деце.
Досадан је нерад.
Штетно је несамовлађивање.
„Ако заповедаш, управљај самим собом.“
„Ако је владар једном омражен, онда га његова било добра било лоша дела терете.“
„Веће је поштовање из даљине.“
„Најбржи је ум, јер кроз све јури.“
 Не буди нерадан ма и богат био.
Гледај да ти пре завиде него да те жале.
Придржавај се мере.
Ходајући путем Талес је гледао у небо и пао у јаму. Звао је у помоћ и на то му је рекла једна старица: „Е, Талесе, ти ниси у стању да видиш шта ти је пред ногама, а хтио би спознати што је на небу.“
Талес је говорио да се смрт не разликује од живота. Кад му је приговорено па зашто онда не умре, рекао је: „Баш зато што нема никакве разлике.“
Како ћемо живети најбоље и најправедније? „Ако не будемо радили оно што другима приговарамо.“
Човеку који га је питао шта је било пре: ноћ или дан, он је одговорио: „Ноћ је за један дан старија“.
Шта је тешко?

- Самога себе спознати.
А што је лако?
- Другоме савет давати.



На Талесовом гробу је натпис:

Мали је овај гроб – али слава допире до неба –
Ово је место најмудријег Талеса.
 

Грчки алфабет

Алфабет је списак писаних симбола од којих сваки представља одређен глас и који у комбинацији са другим симболима алфабета формира речи. Сама реч алфабет долази од прва два слова грчког алфабета (алфа и бета).
Грчки алфабет има 24 слова. Користи се за означавање неких величина и јединица у физици и математици. У астрономији словима грчког алфабета понекад се означавају звезде (Бајерове ознаке).






Пи - број који "зна све о вама"

Пи дан (π дан или Pi Day) се у магично егзактном свету математике и физике слави сваког 14. марта, почев од 1988. године када је физичар Лери Шо предложио да се овој математичкој константи посвети празник, што је после подржао и амерички Сенат.

Зашто баш 14. март? Ствар је врло очигледна - ако овај датум пишемо по западној варијанти, прво месец, па датум, онда је управо 14. март најједноставнија апроксимација броја Пи (π): 3,14.

Тренутак у току дана који је посебно значајан је у 1 сат и 59 минута (или ујутро или поподне), јер тада број изгледа овако: 3,14 1 59 што је шира апроксимација овог бесконачног броја.
Оно што је веома интересантно јесте да је на "Пи дан", 14. марта рођен и један од највећих светских умова - Алберт Ајнштајн. Иначе, данас свој рођендан славе и глумци: Сир Мајкл Кејн, Џејми Бел, Крис Клајн, Били Кристал...
Ако сте случајно заборавили,
број Пи је однос обима и пречника круга, односно однос површина круга и квадрата над његовим полупречником. Пи је такође познат и као Архимедова константа или Лудолфов број. Пи је ирационалан број, што значи да се његова вредност не може изразити преко разломака. Због тога његов децимални запис нема краја и није периодичан. Пи је, такође, трансцендентан број, што значи да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз сабирање, одузимање, множење, дељење и кореновања. Током историје математике вршено је много покушаја да се што прецизније израчуна вредност броја Пи и разуме његова природа, али до сад нико то још није успео.

3,1415926535897932384626433832795028841971693993
751058209749445923078164062862089986280348253421
170679821480865132823066470938446095505822317253
594081284811174502841027019385211055596446229489
549303819644288109756659334461284756482337...
је број Пи. Дужина нека те не плаши, јер ово није ни почетак овог бесконачног броја.
 
"Број Пи, или Лудолфов број означава однос обима круга и његовог пречника, међутим, он има бесконачно много децимала, а научници су до сада израчунали неколико трилиона децимала тога броја", каже професор математике из Чачка Радоје Дамљановић . Он истиче да тај број представља
универзум, јер се у његовим децималама сви могу пронаћи. Наиме, међу цифрама броја Пи, редом почевши од неког места, може се наћи било који коначан низ: ваш датум рођења, матични број, број телефона, све се то налази негде у броју Пи.
"Чак и регистарки број таблица изналазимо у броју Пи, а баш на овај дан рођен је и Алберт Ајнштајн", каже професор.

Провери да ли се твој датум рођења налази у броју Пи
Музика направљена на основу броја Пи


Прочитајте и Како су бројеви створили свет




 


ЗЛАТНИ БРОЈ  И  ФИБОНАЧИЈЕВ НИЗ
 

Лепота  архитектонских објеката зависи од више фактора. Најважнији су пропорционалност  и хармоничност. Хармонична пропорција најбоље се огледа у пропорцијама златног пресека.
По  Еуклиду она гласи :
b:а = а:(а+b)    или
   Мање  према  Већем   као  Веће  према Целини.

Ако је  а= 1.0 онда је b=0.618  тј.  а+b= 1.618 и ова величина је позната као златна средина (златни број) или златни пресек. Представља се грчким словом Фи  и то је ирационалан број:     ϕ=1.6180339887499…
Архитектура антике и средњег века користила је у пројектовању пропорције у складу са златним пресеком. Зато објекти из тог периода изгледају пропорционално, складно и лепо. Златни број су користили и сликари, музичари, физичари… а све због тога што је овај број уткан у саму природу и сва жива бића јер све што се развија  чини то у одређеним корацима. ϕ  је и у пропорцијама лица, ритму откуцаја срца, структури ДНК…
Златни број је везан и за Фибоначијев низ.То је низ бројева:  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…Полазећи од бројева 0 и 1 сваки следећи број је једнак збиру претходна два.
Ако поделимо сваки број Фибоначијевог низа са његовим претходником добијамо низ бројева који конвергира управо броју  1.6180339887499…
Графички Фибоначијев низ се представља цртањем квадрата . Почињемо са два квадрата дужине странице 1, које нацртамо један до другог. Затим изнад та два квадрата нацртамо квадрат дужине странице 2 (1+1=2). Затим поред тако добијеног правоугаоника 1+2 нацртамо квадрат дужине странице 3 . Ако наставимо са додавањем нових квадрата на слику, таквих да је страница новог квадрата једнака збиру дужина страница претходна два, добијамо квадрате чије су дужине страница једнаке бројевима Фибоначијевог низа.
Када у тако добијене квадрате уцртамо кружне лукове, добијамо спиралу (Фибоначијева спирала), која је веома добра апроксимација спирала које се појављују у природи код пужева,  у распореду семенки код биљака…изгледу галаксија.



Овај низ је веома важан за математику и данас има практичну примену у информатици (конкретно у техникама претраживања и организовања података) али  много занимљивије је појављивање у природи (и музици!).
Осим спиралних галаксија и међусобна растојања планета у својим системима одређена су по удаљености претходних планета. Код биљака, гранање, цветање, листање, пупољци… све је повезано са сличном законитости. Неке болести (мононуклеоза) напредују са истим временским интервалима, пчеле увек имају исто поређан број мушких предака, шишарке… Фибоначи је неисцрпна тема…

У каснијим научним радовима утврђено је да се по правилу примењује Фибоначијев низ приликом изградњи пирамидалних грађевина и поставки пратећих и помоћних објеката око истих. Основни пример овог низа је примењен приликом изградње комплекса пирамида у Гизи и њиховог платоа. 

Зашто су пирамиде постављене у низу облика Фибоначијеве спирале, лако је закључити. То је облик складног тока животне енергије простора, од облика галактичког кретања планета до облика пужеве кућице на копну и оног пужа на дну мора или спиралног кретања енергије живота, у живим бићима или „qi “ енергије. То потврђује познавање редоследа и поштовања основног космичког закона животних токова.


 



" МАТЕМАТИЧКЕ   ИСТИНЕ "
 

- Било где да седнеш при решавању контролних или писмених задатака твоја група ће бити најтежа .

Увек кад касниш на час , наставник неким чудом дође на време.

- Осмех је једна крива линија која може да исправи многе ствари. 

 


 МАЛЕ  ШАЛЕ


***    - Мама , моја учитељица никад није видела коња !
     - Како знаш ?
     - Ја сам нацртао коња у свесци , а она ме упита: 
" Какво је то чудовиште ?"


***    Учитељица упита Перицу :
     - Перице , јеси ли добро запамтио шта смо учили на часу ?
     - Да.
     - А о чему смо говорили ?
     - Ви сте нам цео час говорили да не галамимо .


ШАЉИВА  ПИТАЊА

Који коњ једе а не пије  ?

     Чиме се завршава дан а почиње ноћ ?

           Која реч има сто једнаких слова ?


(одговори : шаховски коњ , словом н , стоп )
 



Математика то је језик којим говоре све природне науке .

Не постоји ниједна математичка област, ма како она апстрактна била, која се не би могла применити на појаве реалног света.
Н. Лобачевски
 
Ми никада не постајемо математичари, чак и ако научимо напамет све туђе доказе, ако наш ум није оспособљен да самостално решава постављене проблеме.
Р. Декарт

 Из математике се много штошта не задржи у памети, но ако си је једном савладао, онда ћеш се по потреби увек лако присетити заборављеног.

                                                                                                                                                                                                         Б. Остроградски

Математика је – наука младих. Другачије не може ни бити. Бављење математиком представља такву гимнастику ума, да је за њу потребна сва гипкост и издржљивост младости.
                                                                                                                                                                                                                         Н. Винер
 
Највеће задовољство у проучавању математике јесте разумевање, без њега знање мало значи.
                                                                                                                                                                                                  
 Л. Инфелд
 

 

МАЛЕ  ШАЛЕ

За њега има

Перица се спремио да изађе у град, па пита оца :
- Тата , имаш ли пара ?
Отац му одговори :
- Ја имам , не секирај се ти за мене . 


 

Динар по динар

Дирала деца у школи Перицу како је глуп. Омиљена шала им је да му понуде 5 динара и 10 динара, да одабере који хоће - Перица би увек узео 5 динара.
Једном, када је Перица опет узео 5 динара, комшија, који је то гледао, га пита:
- Добро Перице, зашто кад год ти понуде да бираш ти изабереш 5 динара?
  Знаш да је 10 више од 5.
- Наравно да знам, али кад би узео 10 не би ми више нудили. Већ имам 750 динара.

 

Добро вече професоре!
 

Шетају Ивица и Перица по граду и сретну свог учитеља математике.
‘’Добар дан’’ поздрави учитељ. Ивица каже ‘’Добар дан’’, а Перица ‘’Добро вече’’.
Прође учитељ, а Ивица пита Перицу зашто га је тако поздравио.
А Перица: ‘’Па сваки пут кад га видим падне ми мрак на очи.’’

 
*

Ученик је добио јединицу из математике и зато га је отац казнио.
Следећег дана добио је петицу из музичког . Кад је то рекао оцу ,
овај га је опет казнио . Мајка се побунила :
- Зашто га опет кажњаваш ?
- Зато што после јединице из математике још има вољу да пева !


*
- Зашто плачеш Перице ?
- Зато што је наставник математике пао на степеницама и сломио ногу .
- Лепо од тебе што га жалиш .
- Жао ми је јер је  цео разред то видео , осим мене .


*
У пицерији плавуша наручује пицу . Продавац је пита :
- Да је исечем на четири или на осам делова ?
- На четири. Осам парчади заиста не бих могла да поједем .

 

*
„ Тата , имам за домаћи да нађем заједнички именилац за 2/3  и  5/7 „ – каже Радиша тати.
„ Интересантно , у моје време пре 30 година , и ми смо тражили то исто . Зар од онда није пронађен ? „


*
Радишу су родитељи стално грдили због лоших оцена из математике.
Једном је он упитао оца :
„ Тата, шта мислиш , у чему је проблем код мене? Да ли су у питању гени или утицај средине?“


*
Поред  улаза у школу стоји саобраћајни знак са натписом :
ПАЗИ  ШКОЛА !  ДЕЦА  НА  ПУТУ !
Неко је дописао :
САЧЕКАЈ  ДА  НАИЂЕ  ПРОФЕСОР  МАТЕМАТИКЕ !


                  


администратор
СЛАЂАНА СТЕФАНОВИЋ
(професор математике)